Hensel minimaliteit

Het bestuderen van rationale punten op algebraïsche variëteiten is één van de meest fundamentele onderzoekstopics in the algebraïsche meetkunde en getaltheorie. Het voorgestelde project past binnen deze topics. Voor een rationaal getal q=a/b met a en b copriem definieert men de hoogte van q als het maximum van |a| en |b|. In zekere zin meet dit de complexiteit van het getal q. Voor een tuple (q_1, ..., q_n) van rationale getallen definieert men de hoogte als het maximum van de hoogtes van de q_i. Zij f(x_1, ..., x_n) = 0 een veeltermvergelijking in meerdere veranderlijken, we zijn geïnteresseerd in het begrenzen van het aantal oplossingen van deze vergelijking van hoogte hoogstens B. Deze onderzoekslijn is begonnen met werk van Bombieri en Pila en is verder uitgespit door Heath-Brown, Salberger en Walsh. Ondertussen heeft dit soort onderzoek meerdere toepassingen binnen de algebraïsche meetkunde en getaltheorie.

In plaats van te werken met rationale getallen, kunnen we deze vragen ook stellen voor rationale functievelden over een eindig veld in één verandelijke, F_q(t). Er zijn meerdere analogieën tussen deze twee velden, en stellingen in de ene wereld hebben dikwijls een tegenhanger in de andere. Het is dus geloofwaardig dat de resultaten in verband met het begrenzen van punten van beperkte hoogte in karakteristiek 0 overgedragen kunnen worden naar positieve karakteristiek. Het voorgestelde project gaat deze vragen en toepassingen in de cryptografie verder uitdiepen.