Expliciete en impliciete tensorontbindingen: Algoritmen en toepassingen

Vectoren en matrices zijn respectievelijk één- en tweewegse tabellen van getallen die gebruikt kunnen worden om allerlei soorten data zoals tijdsreeksen en multi-sensoropnames voor te stellen. Met behulp van matrixontbindingen kan men waardevolle informatie ontginnen uit dergelijke datamatrices in een brede waaier van toepassingen binnen signaalverwerking, dataontginning, en machinaal leren. Hoewel matrixtechnieken krachtige instrumenten zijn in heel wat toepassingen, zijn matrices ontoereikend om meerwegsdata voor te stellen zonder informatieverlies. Een hogere-ordetensor is een uitbreiding van een vector (eerste orde) en een matrix (tweede orde) die ons toelaat om de alomtegenwoordige meerwegsdata in signaalverwerking en dataontginning op een natuurlijke wijze voor te stellen. Door gebruik te maken van de krachtige eigenschappen van tensorontbindingen zoals compressie en uniciteitsvoorwaarden, kunnen we de resultaten van methoden die enkel matrices gebruiken overtreffen.

Terwijl hogere-ordetensoren uitermate geschikt zijn om meerwegsdata op een gepaste wijze te kunnen voorstellen, zijn tensorproblemen vaak grootschalig omdat het aantal waarden in een tensor exponentieel toeneemt met de orde van de tensor. Deze vloek van de dimensionaliteit kan echter verlicht of zelfs gebroken worden door allerlei technieken. Zo worden bijvoorbeeld tensorontbindingen gebruikt voor een compacte voorstelling van een tensor. Terwijl een pessimist enkel een vloek ziet, herkent een optimist een belangrijke opportuniteit voor de compacte voorstelling van grootschalige datavectoren: door de grootschalige vector (eerste orde) voor te stellen met een compact (hogere-orde) tensormodel, bekomen we een voorstelling waarvan het aantal parameters exponentieel afneemt met de orde van de tensor. Dit noemen we de zegen van de dimensionaliteit. Hierbij maken we de belangrijke veronderstelling dat de data kunnen voorgesteld worden door veel minder parameters dan het effectieve aantal bemonsteringen, wat vaak het geval is in grootschalige toepassingen.

Door gebruik te maken van de zegen van de dimensionaliteit in blinde signaalscheiding en (blinde) systeemidentificatie, kunnen we grootschalige toepassingen aanpakken via ontbindingen van expliciet en impliciet gegeven tensoren. Terwijl een expliciete ontbinding een tensor ontbindt die a priori gegeven is, ontbindt een impliciete ontbinding een tensor die enkel op impliciete wijze gekend is. We ontwikkelen in deze thesis generische uniciteitsvoorwaarden en een éénstapsraamwerk voor een bepaald type ontbinding van een impliciet gegeven tensor met behulp van optimalisatie en klassieke lineaire algebra. Door op gepaste wijze bijkomende structuur uit te buiten in specifieke toepassingen, kunnen we de computationele vereisten van onze optimalisatiegebaseerde algoritmen significant verlagen. Onze methode voor grootschalige ogenblikkelijke blinde signaalscheiding en (blinde) systeemidentificatie laat toe om allerlei toepassingen efficiënt aan te pakken. Voorbeelden zijn de schatting van de aankomstrichting van signalen die opgemeten worden door grote rijen van antennes alsook het scheiden van neurale pieken in hoge-densiteitsopnames. We tonen verder aan dat de ontbinding van een impliciet gegeven tensor kan gerelateerd worden aan multilineaire stelsels van vergelijkingen, welke een veralgemening zijn van klassieke lineare stelsels. Dit laat ons toe om een nieuwe tensorgebaseerde classificatiemethode te ontwikkelen waarmee we gezichtsherkenning en irreguliere hartslagclassificatie nauwkeurig kunnen uitvoeren.