Combinatorische en Computationele Algebraïsche Meetkunde

Mijn project ligt in het gebied van de Commutatieve Algebra en zijn interacties met Algebraïsche Meetkunde, Tropische Meetkunde, Combinatoriek, en Convexe Meetkunde. Het hoofddoel is om convexe polytopen te associëren met algebraïsche variëteiten, zodat belangrijke meetkundige eigenschappen van de variëteit kunnen worden afgeleid uit hun polytopen. Een torische variëteit is bijvoorbeeld een bepaalde algebraïsche variëteit gemodelleerd op een convexe polytoop. Mijn hoofddoel is om nieuwe en verenigende gereedschappen te ontwikkelen om de gereedschappen van torische variëteiten uit te breiden naar algemene variëteiten via torische degeneraties. Ik zal eerst combinatorische hulpmiddelen ontwikkelen om punten in tropische variëteiten te construeren en hun Gröbner degeneraties te bestuderen. Vervolgens zal ik expliciete karakteriseringen vinden voor zulke punten die leiden tot torische degeneraties, dat wil zeggen dat hun corresponderende polynomiale ideaal binomiaal en priem is. Ik zal de relaties tussen torische degeneraties van een gegeven variëteit bestuderen door hun geassocieerde polytopen te bestuderen. In het bijzonder zal ik de combinatorische mutaties van deze polytopen bestuderen. Mijn doel is om isomorfe degeneraties te bepalen en te karakteriseren. Tenslotte zal ik algoritmen aanreiken om tropicalisatie en torische degeneraties te berekenen voor specifieke families van variëteiten. In het bijzonder ben ik van plan de Grassmannianen en vlag variëteiten te bestuderen.