Depositie, diffusie en convectie: BLUES approximanten en exacte resultaten

Een analytische methode om niet-lineaire differentiaalvergelijkingen op te lossen wordt bestudeerd. De nieuwe methode wordt de BLUES functie methode genoemd. Deze wordt eerst gëimplementeerd voor gewone differentiaalvergelijkingen (ODEs) waarbij er maar één onafhankelijke variabele aanwezig is. Wanneer een inhomogene bron voorkomt in deze differentiaalvergelijking vormt de BLUES functie methode een natuurlijke keuze om benaderende oplossingen te bekomen. Binnen deze context worden verschillende systemen uit niet-lineaire fysica en andere wetenschappen bestudeerd, met name het fenomeen van lopende golven binnen vloeistofdynamica en biofysica. De BLUES methode wordt nadien ook toegepast op een fractionele differentiaalvergelijking (FDE) die warmtegeleiding binnen een halfoneindige staaf beschrijft. Een initiële onderlinge vergelijking met een andere iteratieve methode wordt uitgevoerd, waaruit blijkt dat de BLUES methode een grotere convergentiestraal bezit.

Vervolgens wordt de methode uitgebreid naar partiële differentiaalvergelijkingen (PDEs) en gekoppelde differentiaalvergelijkingen (CDEs). Binnen het kader van deze uitbreidingen wordt de BLUES methode telkens licht aangepast om specifieke kenmerken in de methode op te nemen. Zo zal binnen het domein van de (gekoppelde) PDEs de beginvoorwaarde de rol van de externe bron of put overnemen en zal er bij gekoppelde vergelijkingen de mogelijkheid bestaan om de lineaire operator oordeelkundig te bepalen zodat de dekpunten reeds in het lineaire systeem aanwezig zijn. Dit bevordert zowel de convergentiesnelheid als de regio. Een uitgebreide vergelijking met andere methodes wordt uitgevoerd. Hieruit komt naar voren dat de BLUES functie methode een uitstekende kandidaat is wanneer men moet kiezen tussen verschillende iteratieve methodes.

Tot slot wordt het hiërarchisch random depositiemodel (HRDM) bestudeerd. In dit model vindt de depositie plaats in een viskeus medium zodat de deeltjes het oppervlak raken in volgorde van grootte. Deze grootte volgt een hyperbolische verdeling waarbij dat de grootste deeltjes eerst op het substraat landen. Bovendien kunnen ook vierkante ``gaten'' gegraven worden die dezelfde verdeling volgen. De connectie tussen de toe- of afname van kustpunten (of niveaukrommen) en laterale percolatie wordt onderzocht door middel van analytische berekeningen en numerieke simulaties. Hieruit kan worden vastgesteld dat exact op de percolatie grenswaarde het aantal kustpunten (of kustlijnen in twee dimensies) logaritmisch fractaal gedrag vertoont en bijgevolg lineair toeneemt met toenemende generatie. Vervolgens worden de spelregels van het random depositieproces aangepast om toe te laten dat deeltjes zich zijdelings kunnen vasthechten aan het bestaande materiaal, wat resulteert in een zogenaamd hiërarchich ballistisch depositieproces (HBDM). Deze dynamica induceert sterke laterale correlaties tussen verschillende kolommen. De lengtetoename van het oppervlak gevormd door dit ballistisch depositieproces, het aantal afgesloten reservoirs en bijgevolg ook de porositeit van het materiaal worden numeriek bepaald en ondersteund met benaderende analytische uitdrukkingen.