Structuur en hogere orde tensor decomposities: algebraïsche en numerieke aspecten en implicaties voor signaalscheiding en systeemidentificatie.

De waarde van data kan niet onderschat worden in het huidige digitale tijdperk. Technieken voor dataontginning hebben geleid tot verschillende waardevolle technologische vooruitgangen die ons dagelijks leven significant hebben beïnvloed. Een belangrijk aspect van dataontginning is datarepresentatie. Terwijl vectoren en matrices gebruikt kunnen worden om respectievelijk één- en tweewegsdata te beschrijven, zijn zogenoemde tensoren uitermate geschikt om meerwegsdata voor te stellen. De mogelijkheden van recent ontwikkelde tensorinstrumenten zoals tensorontbindingen overtreffen de eigenschappen van hun vector- en matrixequivalenten. Deze instrumenten zijn daarom reeds gevestigde waarden geworden in domeinen zoals signaalverwerking, statistiek en machine learning.

Tensorinstrumenten vereisen vanzelfsprekend een tensor. In verscheidene toepassingen zoals signaalscheiding en dataclustering is enkel één- of tweewegsdata beschikbaar. Terwijl klassieke matrixtechnieken soms tekortschieten, hebben tensorinstrumenten de kracht om, bijvoorbeeld, onderliggende componenten op een eenduidige manier te identificeren. Het hoofddoel van deze thesis bestaat in het onderzoeken hoe, gegeven een enkele vector of matrix, tensorinstrumenten en hun krachtige tensoreigenschappen gebruikt kunnen worden. Een mogelijke aanpak omvat een zogenoemde tensorisatiestap door eerst de gegeven data om te vormen naar een tensor. Een aantal tensorisatietechnieken zijn reeds verschenen in de literatuur zoals Hankelisatie en hogere-ordestatistieken. Niet iedere omvorming is echter betekenisvol en de doeltreffendheid van een techniek hangt sterk af van het beschouwde probleem.

In deze thesis stellen we een uitgebreid overzicht voor van bestaande en nieuwe tensorisatietechnieken. We leggen relaties bloot tussen eigenschappen van de gegeven data en die van de tensor na tensorisatie, en leggen verbanden met tensorinstrumenten. We demonstreren de kracht van tensorisatie aan de hand van ogenblikkelijke en convolutieve blinde signaalscheiding, inclusief hartsignaalscheiding, invalshoekschatting en 16-QAM scheiding, en voorzien theoretische werkingsvoorwaarden. Er worden ook kort andere toepassingen aangeraakt zoals data- en grafenclustering en neurale netwerken. Bovendien buiten we onze expertise in tensorgebaseerde optimalisatie uit om een nieuwe techniek voor te stellen voor niet-negatieve matrixfactorisatie. Doorheen de thesis wordt aandacht besteed aan het gebruik van tensorisatie voor grootschalige data. Dit leidt tot efficiënte voorstellingen van gestructureerde tensoren en algoritmen die vlot grote tensoren na tensorisatie kunnen verwerken.