Reidemeisterspectra voor bijna-kristallografische groepen

De notie van conjugatie in een groep kan worden veralgemeend naar getwiste conjugatie. Voor elk endomorfisme φ van een groep G, kunnen we een equivalentierelatie ~ op G definiëren als ∀g,g' ∈ G: g ~ g' als en slechts als ∃h ∈G: g = hg'φ(h)⁻¹. Het aantal equivalentieklassen wordt het Reidemeistergetal genoemd en wordt genoteerd met R(φ). De verzameling van alle mogelijke Reidemeistergetallen van automorfismen wordt het Reidemeisterspectrum genoemd.

Deze notie vindt zijn oorsprong in de topologische vastepuntstheorie. Een continue zelf-afbeelding f op een (voldoende brave) topologische ruimte X induceert een endomorfisme f* op de fundamentaalgroep π₁(X). Het Reidemeistergetal R(f*) is een bovengrens voor het Nielsengetal N(f), dat op zijn beurt een ondergrens is voor het aantal vaste punten van f.

In deze thesis onderzoeken we de Reidemeisterspectra van bijna-kristallografische groepen. Deze groepen zijn veralgemeningen van de kristallografische groepen, in die zin dat hun translatiedeelgroep nilpotent is in plaats van abels. De belangrijkste resultaten kunnen in twee delen worden gegroepeerd.

In het eerste deel onderzoeken we de Reidemeisterspectra van eindig voortgebrachte, torsievrije, nilpotente groepen. We berekenen het spectrum voor deze groepen met dimensie maximaal 4. Verder berekenen we de Reidemeisterspectra van vrije nilpotente groepen van lage rang en/of nilpotentieklasse.

In het tweede deel bepalen we eerst welke laag-dimensionale bijna-kristallografische groepen automorfismen met eindig Reidemeistergetal toelaten. Vervolgens geven we een algoritme dat in staat is om het Reidemeistergetal van een gegeven automorfisme van een kristallografische groep te berekenen en gebruiken dit om de Reidemeisterspectra te berekenen. Ten slotte bepalen we welke bijna-kristallografische groepen Reidemeister-zèta-functies toelaten, en bewijzen we dat deze functies rationaal zijn voor groepen met dimensie maximaal 3.