Redundantie introduceren in numerieke berekeningen: rekenen met frames

Deze thesis gaat over benaderingsschema's die zeer snel zeer nauwkeurige

benaderingen kunnen berekenen. Meer specifiek bestaat de familie van functies

waaruit we elementen gebruiken uit een frame, een generalisatie van een
orthonormale basis. Orthonormale basissen zijn klassieke en zeer goede keuzes
voor benaderingsproblemen, met een lange geschiedenis van theoretische en
praktische resultaten. Frames zijn een recentere ontwikkeling, en relatief
onbekend in benaderingsproblemen. Hun grote voordeel ten opzichte van
orthonormale basissen zijn de flexibiliteit: er zijn problemen waarvoor een
orthonormale basis zeer moeilijk te vinden is, of onbruikbaar is in
algoritmes, terwijl een frame voor hetzelfde probleem eenvoudig te
vinden is.

De voornaamste bijdragen van deze thesis zijn bruikbare algoritmes om
benaderingen in frames te berekenen, voor frames waarvan het spectrum van de
evaluatiematrix voldoet aan bepaalde voorwaarden. We formuleren algoritmes in één en meerdere
dimensies om benaderingen met een kleine kleinste kwadraten fout te
berekenen. Deze algoritmes hebben een fundamenteel lagere rekenkost dan een voor
de hand liggende aanpak. Daarnaast brengen we een aantal problemen aan waarvoor
deze algoritmes een bouwsteen kunnen vormen, zoals randwaardeproblemen, en
ruimere klassen frames. We beschrijven kort de genomen ontwerpbeslissingen bij
het implementeren van deze algoritmes, deze zijn vrij verkrijgbaar als een open
source Julia pakket. We eindigen met een overzicht van toekomstig werk en
openstaande problemen gerelateerd aan deze thesis.