< Terug naar vorige pagina

Project

Rationale punten op variëteiten over discreet gevalueerde velden.

Het hoofdthema van deze thesis is de interactie tussen het gedrag van de rationale punten op bepaalde klassen van algebraïsche variëteiten overglobale en lokale velden, en de étale cohomologie van deze variëteiten.

In Deel I bestuderen we cohomologische obstructies voor de geldigheid van lokaal-globaal principes (zoals het Hasse principe en zwakke approximatie) die veroorzaakt worden door de Brauergroep van een variëteit. De BrauerManin obstructie is een essentieel hulpmiddel geworden om te begrijpen wanneer dergelijke principes kunnen gelden. We leveren twee bijdragen tot deze onderzoekslijn. Ten eerste bestuderen we families van torsoren onder een constante torus gedefinieerd over een getallenveld met behulp van diverse technieken (zoals de afdelingsmethode en de vezelingsmethode). We bewijzen daarbij dat de Brauer-Manin obstructie voor het Hasse-principe en zwakke approximatie de enige is voor bepaalde families. Ten tweede construeren we nieuwe voorbeelden van variëteiten waarvoor de étale Brauer-Manin obstructie (een verfijning van deklassieke Brauer-Manin obstructie) er niet in slaagt om het falen van het Hasse principe te verklaren. We construeren voor het eerst dergelijkevoorbeelden met triviale Albanese-variëteit; onder aanname van het abc-vermoeden construeren we ook voorbeelden die (meetkundig) enkelvoudig samenhangend zijn.

In deel II onderzoeken we het verband tussen hetrationaal volume van een gladde, projectieve variëteit gedefinieerd over een strikt lokaal veld, en het spoor van de tamme monodromie-operator op de étale cohomologie van deze variëteit. De motivatie hiervoor is werk van NicaiseSebag over een spoorformule voor de motivische Serre-invariant, geïnspireerd door de GrothendieckLefschetz spoorformule voor variëteiten over eindige velden. We bestuderendeze relatie in de context van logaritmische meetkunde. We geven expliciete formules voor het rationale volume en voor de tamme monodromie zetafunctie in termen van de logaritmische stratificatie van een log glad model over de ring van gehelen (onder de aanname dat zo'n model bestaat). De belangrijkste ingrediënten daarvoor zijn Nakayamas beschrijving van het complex van nabije cykels in het log gladde geval, en Katos formalisme van log opblazingen.
Datum:1 okt 2010 →  14 okt 2014
Trefwoorden:Arithmetic geometry, Rational points, Discretely valued fields, Trace formula
Disciplines:Algebra
Project type:PhD project