Multivariate eindige elementenmethode voor elliptische PDE's met willekeurige diffusiecoëfficiënten

We ontwikkelen een multivariate eindige-elementenmethode (MDFEM) voor het oplossen van elliptische PDE's met willekeurige diffusiecoëfficiënten waarbij de diffusiecoëfficiënt wordt geparametriseerd door een aftelbaar oneindig aantal willekeurige variabelen en een geschikt functiesysteem. We beschouwen twee modellen van parametrische diffusiecoëfficiënten: uniform en lognormaal.
We laten zien dat de MDFEM de computationele complexiteit vermindert voor het schatten van de verwachte waarde van een lineaire functie van de oplossing van de PDE.
Het voorgestelde algoritme combineert de multivariatedecompositiemethode (MDM) om oneindigdimensionale integralen te berekenen met de eindige-elementenmethode (FEM) om verschillende instanties van de PDE op te lossen.
De strategie van de MDFEM is om het oneindigdimensionale probleem te ontleden in meerdere eindigdimensionale problemen die zich lenen voor eenvoudiger parallellisatie dan om een enkel groot dimensionaal probleem op te lossen.

We passen de analyse van de MDM aan om de log-factor op te nemen die al dan niet in foutgrenzen verschijnt voor multivariate kwadratuur omdat dit nodig is voor onze analyse.

Voor het uniforme geval specialiseren we de kwadratuurregels als twee soorten quasi-Monte Carloregels, namelijk digitaal verschoven veeltermroosterregels en hogere-orde veeltermroosterregels.
We presenteren dan een grens voor de fout van de MDFEM en tonen hogere orde convergentie in functie van de totale rekenkosten in geval van veeltermroosterregels van hogere orde in combinatie met eindige-elementenmethoden van hogere orde.

We breiden het MDFEM-algoritme uit naar het lognormale geval. De grootste moeilijkheid is dat in dit geval het MDFEM-algoritme kwadratuurregels vereist over de onbegrensde Euclidische ruimte met betrekking tot de Gaussverdeling. Het idee is om het Euclidische domein af te breken en vervolgens de resulterende integralen zodanig in de eenheidskubus te transformeren dat ze kunnen worden benaderd door QMC-regels van hogere orde, in het bijzonder door doorheengevlochten veeltermroosterregels. Door dergelijke kwadratuurregels toe te passen voor het MDFEM-algoritme, bereiken we hogere-ordeconvergentie in termen van de fout versus totale rekenkosten. Hierdoor verbeteren we aanzienlijk bestaande resultaten die alleen eerste-orde kwadratuurregels gebruiken.

Ten slotte gebruiken we een vergelijkbare afbrekingsstrategie om multivariate integralen over de Euclidische ruimte te benaderen voor analytische functies (dit is in feite eerst bestudeerd). We gebruiken een oneindig rooster met verschillende roosterafstanden in elke richting om de functie te bemonsteren en vervolgens af te breken. In onze analyse worden de roosterafstanden en het afgebroken domein gekozen door de afknottingsfout en de discretisatiefout optimaal te balanceren. We tonen expliciete bovengrenzen die de exponentiële convergentiesnelheid bereiken voor een ruimte met gewogen analytische functies.
Numerieke tests bevestigen onze theoretische bevindingen.