Dynamical properties of selfmaps on infra-nilmanifolds.

Expanderende afbeeldingen en Anosov diffeomorfismes zijn belangrijke voorbeelden van dynamische systemen aangezien ze structureel stabiel en chaotisch zijn. Elke gesloten variëteit die een expanderende afbeelding toelaat is homeomorf met een infra-nilvariëteit en er wordt vermoed dat hetzelfde waar is voor variëteiten met een Anosov diffeomorfisme. Dit motiveert het onderzoek naar expanderende afbeeldingen en Anosov diffeomorfismes op infra-nilvariëteiten. Alhoewel expanderende afbeeldingen, op homeomorfisme na, enkel op infra-nilvariëteiten bestaan, laat toch niet elke infra-nilvariëteit een expanderende afbeelding toe. Ook het bestaan van een Anosov diffeomorfisme legt sterke voorwaarden op de fundamentaalgroep van de infra-nilvariëteit. Deze verhandeling bestudeert welke infra-nilvariëteiten een expanderende afbeelding of een Anosov diffeomorfisme toelaten. Door de algebraïsche constructie van deze infra-nilvariëteiten zijn deze vragen equivalent met het bestuderen van groepsmorfismes tussen hun fundamentaalgroepen, namelijk de bijna-Bieberbachgroepen. De belangrijkste resultaten van dit onderzoek geven algebraïsche methodes om te beslissen of een gegeven infra-nilvariëteit een expanderende afbeelding of een Anosov diffeomorfisme toelaat.

De bewijzen in deze verhandeling combineren technieken uit verschillende takken binnen de wiskunde waaronder (geometrische) groepentheorie, getaltheorie, Lie algebras, lineaire algebraïsche groepen en representatietheorie van eindige groepen. Het eerste deel van deze doctoraatsthesis geeft de noodzakelijke achtergrond over de definities en resultaten in deze gebieden die nodig is voor de volgende hoofdstukken. De nadruk van dit eerste deel ligt op zelfafbeeldingen van infra-nilvariëteiten en het verband met expanderende afbeeldingen en Anosov diffeomorfismes.

Het tweede deel bekijkt de situatie van expanderende afbeeldingen. Het belangrijkste resultaat is een algebraïsch criterium om te beslissen of een infra-nilvariëteit al dan niet een expanderende afbeelding toelaat. Dit criterium hangt enkel af van de overdekkende Lie groep en meer specifiek van het bestaan van een positieve gradering op de bijhorende Lie algebra. Het bewijs van dit resultaat bestaat uit twee stappen die elk verschillende technieken gebruiken. De eerste stap bepaalt het verband tussen groepsmorfismes van commensurabele nilpotente groepen. Deze technieken zijn ook bruikbaar om de periodische punten van een grote klasse van zelfafbeeldingen op infra-nilvariëteiten te bepalen. De tweede stap gebruikt graderingen op Lie algebras en het verband met automorfismes op deze Lie algebras.

Het derde deel van deze doctoraatsthesis behandelt het bestaan van Anosov diffeomorfismes op infra-nilvariëteiten. Aangezien elk Anosov diffeomorfisme kan gelift worden naar de overdekkende nilvariëteit, is de eerste stap om de nilvariëteiten te begrijpen die een Anosov diffeomorfisme toelaten. Dit laatste is equivalent met het bestuderen van Anosov Lie algebras. Deze thesis geeft een nieuwe methode voor het construeren van Anosov Lie algebras die veel van de open vragen over het bestaan van deze afbeeldingen beantwoordt. De nieuwe voorbeelden van Anosov Lie algebras omvatten onder andere Anosov diffeomorfismen van minimale signatuur, Anosov Lie algebras van minimaal type en een nilvariëteit die een Anosov diffeomorfisme toelaat maar geen expanderende afbeelding. Eens we begrijpen welke nilvariëteiten binnen een bepaalde klasse een Anosov diffeomorfisme toelaten is de volgende stap om de infra-nilvariëteiten binnen dezelfde klasse te bekijken. Deze verhandeling geeft een algebraïsche beschrijving van de infra-nilvariëteiten gemodelleerd op vrije nilpotente Lie groep die een Anosov diffeomorfisme toelaten.

In het laatste hoofdstuk geven we enkele richtingen voor verder onderzoek aan de hand van open vragen die resulteren uit deze verhandeling. Dit hoofdstuk bevat ook enkele nieuwe resultaten die deze thesis verbinden met ander recent onderzoek en beschrijft enkele methodes om deze problemen aan te pakken.