De specialisatie index van een variëteit over een discreet gevalueerd veld.

In mijn doctoraat probeer ik de afwezigheid van rationale punten op bepaalde variëteiten te verklaren. Zij R een discrete valuatiering met algebraïsch gesloten residuveld k en breukenveld K. Zij X een proper schema over K. Een belangrijke obstructie voor het bestaan van een rationaal punt op X is de index, de minimale positieve graad van een nulcykel op X. Het is geweten dat de index expliciet kan berekend worden met data die enkel van de speciale vezel komt van een poper, regulier model van X. Bovendien is de index van een gladde, propere, meetkundig samenhangende variëteit over C((t)) (de formele Laurent reeksen over de complexe getallen) met triviale coherente cohomologie gelijk aan één.

Nicaise voerde een nieuwe variant in, de specialisatie-index, die een dichtere benadering is bij het bestaan van een rationaal punt. Wanneer een geschikte vorm van resolutie van singulariteiten wordt aangenomen, geven we een expliciete formule voor de specialisatie-index die enkel data gebruikt van de speciale vezel van een snc-model. Er bestaan voorbeelden van krommen waarbij de index gelijk aan één is, maar waarbij de specialisatie-index groter is dan één en dus de afwezigheid van een rationaal punt verklaart. Het hoofdresultaat luidt dat de specialisatie-index van een gladde, propere, meetkundig samenhangende variëteit over C((t)) gelijk is aan één. In het bewijs hebben we equivariante semi-stabiele reductie over een discrete valuatie ring nodig, waarvan er geen gedetailleerd bewijs bestaat in de literatuur. Ik behandel dit bewijs in detail.

Verder gebruik ik logarithmische meetkunde en geef ik een formule voor de specialisatie-index van een log gladde kromme die enkel de logstructuur op het model gebruikt. In karakteristiek nul komt deze formule voor een snc-model neer op de formule die we al eerder vonden. Ik gebruik dit om een relatie te geven tussen de specialisatie-index van het vezelproduct van twee variëteiten over K  en de specialisatie-indices van de aparte variëteiten. Tenslotte construeer ik een voorbeeld waarbij deze ongelijkheid strikt is.