Bijna-inwendige derivaties van Lie-algebra's

Een klassiek probleem in de spectraalmeetkunde was om na te gaan of variëteiten met hetzelfde spectrum ook isometrisch zijn. Uit verschillende tegenvoorbeelden blijkt dat dat dit niet noodzakelijk het geval is. Voor de constructie van continue families isospectrale en niet-isometrische variëteiten bleken klassebewarende automorfismen van cruciaal belang te zijn. 

Een automorfisme van een groep is klassebewarend als en slechts als elk element geconjugeerd is met zijn beeld. Deze voorwaarde is dus heel gelijkaardig aan, maar minder streng dan die voor een inwendig automorfisme. Een nilpotente Lie groep met een discrete en cocompacte deelgroep waarvoor bovendien ook een klassebewarend automorfisme bestaat dat niet inwendig is, kan gebruikt worden om een continue familie isospectrale en niet-isometrische nilvariëteiten op te bouwen. Natuurlijk zijn klassebewarende automorfismen van een Lie groep in sterke mate verbonden met bijna-inwendige derivaties van de bijhorende Lie algebra. Dit zijn derivaties waarbij elk element afgebeeld wordt op de Lie haak van zichzelf met een ander element. De verzameling van alle bijna-inwendige derivaties vormt een Lie deelalgebra en bevat alle inwendige derivaties.

Tot nu toe zijn deze bijna-inwendige derivaties van Lie algebra's nog niet in detail onderzocht. Het werd enkel bestudeerd vanuit meetkundig standpunt, waarbij de focus lag op het construeren van concrete voorbeelden. Het doel van deze doctoraatsthesis is om dit begrip op een puur algebraïsche manier te bestuderen. Hoewel de motivatie vanuit de spectraaltheorie enkel geldt voor nilpotente Lie algebra's, is er vanuit algebraïsch opzicht geen reden om tot die klasse te beperken. Daarom is het de bedoeling om bijna-inwendige derivaties van Lie algebra's meer algemeen te behandelen en ook Lie algebra's te bekijken die niet nilpotent zijn. Verder bestuderen we niet enkel reële en complexe Lie algebra's, maar ook Lie algebra's die gedefinieerd zijn over een willekeurig veld.

Deze thesis bestaat uit drie grote delen en een appendix. Het eerste deel is een inleiding en bevat alle zaken die nodig zijn om de resultaten te kunnen begrijpen. In Hoofdstuk 2 voeren we Lie algebra's in, net als andere begrippen die belangrijk zijn in de studie van bijna-inwendige derivaties. Hoofdstuk 3 bevat meer informatie over de meetkundige motivatie vanuit de spectraalmeetkunde. Ook geven we enkele eigenschappen van klassebewarende automorfismen voor groepen. In Hoofdstuk 4 beschrijven we enkele interessante technieken om de bijna-inwendige derivaties te berekenen voor (een bepaalde klasse van) Lie algebra's.

In het tweede deel ligt de nadruk op het feit dat de dimensie van de verzameling bijna-inwendige derivaties afhangt van het veld waarover de Lie algebra gedefinieerd is. Hoofdstuk 5 bevat een uitgewerkt voorbeeld, waarbij een Lie algebra voorgesteld is aan de hand van de Lie haken. Het onderscheid bij verschillende velden heeft te maken met een andere veeltermontbinding. In Hoofdstuk 6 tonen we een werkwijze om, aan de hand van eindige velduitbreidingen, nieuwe bijna-inwendige derivaties te construeren. Dit geeft in het bijzonder een manier om een Lie algebra op te stellen waarbij de verzameling bijna-inwendige derivaties varieert voor verschillende velden. In  Hoofdstuk 7 gaat het over Lie algebra's geassocieerd aan eindige groepen. We leggen het verband met klassebewarende automorfismen van eindige groepen uit en vergelijken de resultaten die we voor beide begrippen hebben.

Voor het laatste deel gebruiken we de observaties uit de twee andere delen om de bijna-inwendige derivaties te berekenen voor verschillende klassen van Lie algebra's. In Hoofdstuk 8 berekenen we de bijna-inwendige derivaties voor laagdimensionale Lie algebra's. Een overzicht van de Lie haken die niet nul zijn voor een heleboel Lie algebra's van lage dimensie is te vinden in de appendix. Telkens is er ook een tabel waarin de resultaten weergegeven zijn, zoals de dimensie van een aantal deelalgebra's van de derivatie-algebra. De volgende drie hoofdstukken zijn gewijd aan nilpotente Lie algebra's. In Hoofdstuk 9 worden twee-staps nilpotente bestudeerd. Verder behandelen we ook filiforme en vrije nilpotente Lie algebra's (in Hoofdstuk 10 respectievelijk Hoofdstuk 11). In het laatste hoofdstuk staan resultaten voor een aantal andere klassen van (niet enkel nilpotente) Lie algebra's.