Bijdragen tot de spectrum gebaseerde stabiliteitsanalyse en stabilisering van tijdsvertraagde systemen met onzekerheden

Tijdsvertragingssystemen model wijdverspreide fenomenen, variërend van life sciences en economie tot natuurwetenschappen en engineering. We richten ons op lineaire tijdvertragingssystemen van het tijdinvariante en periodieke type, waarvan de stabiliteitseigenschappen kunnen worden afgeleid uit het spectrum van oneindig-dimensionale operatoren. Inderdaad, de asymptotische stijging of daling van de oplossingen dichtbij nul kan worden bepaald door de spectrale straal van de monodromie-operator, of de spectrale abscis van de infinitesimale generator geassocieerd met het tijdinvariante tijdvertragingssysteem. De optimalisatie van deze stabiliteitsmaatregelen met betrekking tot systeemparameters maakt het mogelijk om een onstabiel systeem te stabiliseren en/of de vervalsnelheid van de oplossingen naar nul te verhogen.

Dit proefschrift beoogt de ontwikkeling en analyse van nauwkeurige en betrouwbare numerieke methoden voor de stabiliteitsbeoordeling en stabilisatie van lineaire tijdvertragingssystemen, waarbij de efficiëntie van de nieuwe methoden met numerieke voorbeelden en technische toepassingen wordt gevalideerd. De belangrijkste bijdragen volgen twee onderzoeksrichtingen. Eerst beschouwen we lineaire tijdinvariante tijdvertragingssystemen, waarvan de parameters worden beïnvloed door onzekerheden, gemodelleerd door een willekeurige vector. Ten tweede presenteren we stabiliteitsbeoordeling en stabilisatiemethoden voor lineaire periodieke tijdvertragingssystemen, waarbij de periode en vertragingen evenredig zijn.

De spectrale abscis van een tijdinvariant tijdvertragingssysteem, waarvan de onzekerheden worden gemodelleerd door een willekeurige vector, is een willekeurige variabele en laat een polynomiale chaosbenadering toe. Anders dan het verklaren van het parallellisme tussen de polynomiale chaos en de polynomiale benaderingstheorieën, tonen we systematisch aan dat het gebrek aan gladheidseigenschappen van de spectrale abscis de polynoombenaderingsmethoden sterk beïnvloedt. De inzichten over het gedrag van de spectrale abscis, die kunnen worden gegeneraliseerd naar het gedrag van de spectrale straal van periodieke tijdvertragingssystemen, spelen ook een rol bij de ontwikkeling van nieuwe methoden voor stabiliteitsoptimalisatie.

De nieuwe stabiliteitsoptimalisatiemethode, die omgaat met de onzekerheid, beschouwt als objectieve functie het gemiddelde van de spectrale abscis met een term die het hebben van een hoge variantie afstraft. Vergeleken met de optimalisatie van de spectrale abscis voor het nominale model, vertoont de nieuwe benadering betere robuustheidseigenschappen en levert, in tegenstelling tot de worst-case-analyse, realistischere resultaten, waarbij gebruik wordt gemaakt van een probabilistische beschrijving van de onzekerheden.

Bovendien ontwikkelen we nieuwe stabiliteitsbeoordelings- en stabilisatiemethoden voor tijdvertragingssystemen, waarvan de vertragingen en periode evenredig zijn. Voor deze systemen kan de spectrale straal niet alleen worden afgeleid uit de monodromie-operator, maar ook uit de eigenwaarden van een karakteristieke matrix, waarvan de evaluatie het oplossen van een beginwaardeprobleem inhoudt. De exploitatie van deze karakteristieke matrix levert drie belangrijke bijdragen. Ten eerste stellen we een nieuwe tweetrapsbenadering voor de stabiliteitsbeoordeling voor, die iteratief de nauwkeurigheid van de spectrale straal verfijnt die wordt verkregen door de discretisatie van de monodromie-operator. Ten tweede bewijzen we een karakterisering van linker eigenvectoren van de karakteristieke matrix in termen van rechter eigenfuncties van de monodromie-operator geassocieerd met een dubbel periodiek tijdvertragingssysteem. Als derde bijdrage leiden we uit de karakteristieke matrix een formule af om de afgeleiden van de spectrale straal met betrekking tot parameters te berekenen, die wordt gebruikt in een op spectrum gebaseerde stabilisatiemethode.