< Terug naar vorige pagina

Project

Algebraische Structuur en representaties van concrete klassen van algebra's, groepen en semi-groepen. (FWOKN207)

In dit project behandelen wij fundamentele structurele problemen van belangrijke algebraïsche constructies waarin de interesse nog steeds toeneemt. De motivatie komt aan de ene kant van klassieke algebraïsche constructies, zoals groepringen, polynoomringen en hun veralgemeningen, en aan de andere kant uit de steeds groeiende interesse en nood aan nieuwe algebraïsche methoden in snel ontwikkelende gebieden, zoals o.a. quantum groepen en hun represenetaties. Het project omvat twee stromingen. De eerste is vooral gebaseerd op de technieken ontwikkeld in het boek ``Noetherian Semigroup Algebras'' [1]. Het doel is om belangrijke concrete algebraïsche constructies te behandelen die opdagen in andere takken van de wiskunde en om hun eigenschappen en toepassingen te onderzoeken. Verschillende van deze constructies zijn reeds uitgebreid bestudeerd vanuit andere oogpunten. Desondanks is er een steeds toenemende interesse en nood aan het ontwikkelen van nieuwe technieken en resultaten omtrent hun algebraïsche structuur. De tweede stroming van het project is in het gebied van eenheden van ringen, dit via nieuwe veelbelovende, en o.a. meetkundige, technieken. Wegens de vele internationale samenwerkingen heeft dit onderzoek een grote internationale component (zie o.a. lijst van publikaties). Om een duidelijk beeld te geven van de concreet aan te pakken problemen in dit project, geven we eerst een kort overzicht van resultaten verkregen in recente jaren (voor meer detais verwijs ik naar "Een beknopt verslag over uw vroeger onderzoek". Betreffende het eerste gedeelte: wij verkregen een volledige beschrijving van Noetherse semigroepalgebra's KS van deelmonoïden van een polycyclisch-bijeindige groep (ook voor enkele andere klassen is zo'n resultaat verkregen, zoals o.a. voor Malcev nilpotente semigroepen). Vervolgens beschreven wij wanneer zulke algebra's priem maximale orders zijn. Belangrijke belangrijke concrete klassen worden vervolgens beschreven, b.v. semigroepalgebra's van monoïden van IGtype en, meer algemeen, sommige klassen van algebra's gedefinieerd door kwadratische kwadraat-vrije homogene relaties. Er worden toepassingen gegeven voor oplossingen van de Yang-Baxter vergelijking en ook worden priemen van hoogte 1 (i.h.b. de klassegroep) worden beschreven. Voor een stand van zaken tot 2006 verwijs ik naar [1]. Andere relevante referenties zijn [3,4]. Betreffende het tweede gedeelte. Speciale deelgroepen van de eenhedengroep van een gehele groepring ZG werden beschreven, zoals o.a. het hypercentrum en de normalisator van de triviale eenheden. Constructies van vrije deelgroepen en deelgroepen van eindige index worden gegeven (zelfs via symmetrische eenheden indien de complexe representaties van een eindige G van graad ten hoogste 2 zijn). De Lie algebra van de anti-symmetrische eenheden van RG (R commutatief) werd bestudeerd en er werd beschreven wanneer deze commutatief is (voor R-lineaire uitbreidingen van invuloties op G, zelfs met een orientatiemorfisme). Ook identiteiten van de eenhedengroep werden onderzocht, en dit voor willekeurige Z-orders en met toepassingen naar restricted omhullende Lie algebra's. Een andere doorbraak is de beschrijving van wanneer een de eenhedengroep van een gehele groepring ZG van een eindige groep G van het Kleiniaans type is, m.a.w., er wordt beschreven wanneer zekere meetkundige meethoden toepasbaar zijn in de eenhedengroep van ZG. Standaard referenties zijn [2,5,6,7]. Vervolgens geven wij nu de belangrijkste aandachtspunten van het voorgestelde onderzoeksproject. VUB-leden die aktief betrokken zullen zijn bij dit project zijn Jespers en Goffa, leden van de onderzoeksgroep ALGB. Dit onderzoek is ook in samenwerking met Cedo (Barcelona), Juriaans (Sao Paulo), Okninski (Warschau), Riley (London, Canada), del Rio (Murcia, Spanje), Ruiz (Cartagena, Spanje), Hertweck (Stuttgart). (1) Belangrijke concrete algebraïsche constructies. Dit aspect bestaat uit twee complementaire onderdelen. In het eerste gedeelte concentreren wij ons op een verdere ontwikkeling en het beter begrijpen van de ``bouwdozen'' van belangrijke klassen van algebra's. Vaak zijn dit geïtereerde constructies gebaseerd op veralgemeende polynoom type ringen over een gegeven coëfficiëntenring. Er is dus nood aan het bestuderen van basiseigenschappen die geerft worden onder deze extensies. Structurele en combinatorische technieken spelen hier de hoofdrol. Deze technieken hebben verband met problemen in Hopf algebra's (i.h.b., zijn gemotiveerd door problemen in quantum groepen). Problemen van deze aard dagen op in fundamentele vragen in wiskundige fysica, i.h.b. via het werk van Ginzburg dat de fundamenten legde voor de ontwikkeling van algebraïsche technieken in de theorie van de quantum groepen en hun toepassingen. In het tweede gedeelte concentreren wij ons op concrete klassen van algebra's die gedefinieerd zijn via specifieke presentaties, zoals b.v. plactic algebra's en algebra's die verband hebben met oplossingen van de Yang-Baxter vergelijking. Sommige van deze algebra's, i.h.b. plactic algebra's die oorspronkelijk ontwikkeld zijn voor algebraisch combinatorische en klassieke representatietheorie door Lascoux en Schutzenberger, zijn nu reeds klassieke hulpmiddelen in deze theorieen. Verrassend genoeg doken deze recent ook op in de context van quantum groepen en hun representaties. Deze objecten werden bestudeerd vanuit een ander perspectief, dit vooral wegens hun intrigerende en diepe combinatorische aard. Wij stellen een sturcturele en algebraische benadering voor gebaseerd op een waaier van technieken in groepen, semigroepen en ringtheorie. Dit zou moeten leiden naar nieuwe resultaten en toepassingen van deze en andere reeds bestudeerde klassen van algebra's. De volgende specifieke problemen vormen een leidraad. Het onderzoek is vooral in samenwerking met Okninski, Cedo, Goffa. Probleem 1: Bepaal wanneer een semigroep gegradeerde ring een Noethers priem maximaal order is en beschrijf zijn priemen van hoogte 1 en zijn klassegroep. Merk op dat dit zelfs een open probleem is voor ring sterk gegradeerd door een eindige groep. Voor sommige gekruiste producten over commutatieve ringen is er recente vooruitgang door Braun, Ginosar en Levy (zie [8] voor een basisreferentie). Een natuurlijke benadering is om na te gaan of, voor gegradeerde Noetherse priem ringen, deze arithmetische structuur bepaald wordt door natuurlijke geassocieerde groep gegeradeerde ringen. Vervolgens moeten deze laatste aangepakt worden, i.h.b. gekruiste producten van (polycyclisch-bij-)eindige groepen. Recente resultaten tonen aan dat de actie van de definierende groep op de priemen van hoogte 1 van de coefficientenring cruciaal zijn en dat lineaire semigroeptechnieken hierop van belang zouden kunnen zijn. Herinner dat groepalgebra's van polycyclisch-bij-eindige groepen H de enige groepalgebra's zijn waarvoor het vermelde probleem opgelost is (Brown) en dat recent Jespers, Okninski en Goffa het probleem oplosten voor semigroepalgebra's KS met S een deemonoide van H. Er is aangetoond dat de structuur volledig bepaald is door deze van S. Er rest echter een uitdagend probleem omtrent de actie van de quotientengroep SS^{-1} op de minimale priemen van S. Dit en ook de klassegroep zal aandacht krijgen. Probleem 2: Bepaal de structuur van eindig gepresenteerde algebra's en semigroepen die gedefinieerd zijn door monomiale relaties. Gateva-Ivanova en Van den Bergh, alsook Etingof, Schedler en Soloviev, hebben een prachtige (semi)groep ((semi)groep van I-type) theoretische interpretatie gegeven van involutieve niet-ontaarde verzameling theoretische oplossingen van de Yang-Baxter vergelijking. Cruciaal zijn eindig gepresenteerde monoiden gedefinieerd door homogene kwadratische monomiale relaties. Om meer voorbeelden van algebra's met een "mooie arithmetische" structuur te verkrijgen zullen wij monoiden en algebra's onderzoeken die gedefinieerd zijn door monomiale relaties die niet noodzakelijk kwadratisch zijn. Recente resultaten van Bell en Smoktunowicz omtrent de "trichotomy" duiden aan dat er inderdaad zulke resultaten te verwachten zijn. B.v. zekere klassen van zulke algebras bestaan waarschijnlijk uit primitieve algebra's. Wij bestuderen ook hun priemidealen en het priem- en Jacobson radikaal. Ook voor groepen van het I-type zijn er fundamentele problemen waaraan wij aandacht zullen geven. B.v. wanneer zijn zulke groepen poly-oneindig cyclisch? Volgens een conjectuur van Gateva-Ivanova zou dit vaak moeten zijn. Verder is een groep van I-type bepaald door een eindige oplosbare groep H en een actie op een abelse groep. Het is onbekend welke groepen H kunnen optreden. Ook weet men geen klassificatie van de toegestane acties voor een gegeven H. Beide aspecten krijgen aandacht in dit project. Merk op dat analoge problemen recent werden onderzocht door David, Ginosar, Etingof and Gelaki, en dit in de context van constructies van centraal simpele algebra's die getwiste groep algebra's zijn over een groep van centraal type. Probleem 3: Bepaal invarianten van gehele semigroepringen. Vele van de hoger vermelde algebra's zijn semigroepringen. De vraag naar invarianten van zulke ringen is dus natuurlijk. Aangezien de gehele semigroepring ZS het natuurlijk object is dat de link legt tussen semigroep- en ringtheorie, moet deze vraag in eerste instantie in deze context bekeken worden. Voor groepringen is er in deze context het fundamenteel werk van Roggenkamp, Scott, Weiss en meer recent Hertweck [9]. In het geval van eindige Malcev nilpotente semigroepen S is een volledig resultaat te verwachten, en het algemene geval zou men misschien kunnen herleiden naar groepringen. (2) De studie van de algeraische structuur van de eenhedengroep van ringen. De eenhedengroep van orders is een fundamenteel studieobject dat reeds sedert verschillende decennia wordt onderzocht. In het niet-commutatieve geval wordt er vooral veel aandacht besteed aan de eenhedengroep van gehele (semi)groepringen ZG van eindige (semi)groepen G. Er zijn echter nog zeer veel uitdagende en open problemen. Belangrijk is de zoektocht naar een beschrijving van (een deelgroep van eindige index van) de eenhedengroep en een beschrijving van de eindige deelgroepen. In het eerste gedeelte van dit onderdeel van het project werken wij verder aan het ontwikkelen van algebraische en meetkundige technieken voor de studie van de eenhedengroep van orders in scheve lichamen en 2-bij-2 matrices over orders in kwadratisch imaginaire uitbreidingen (i.h.b., orders in niet gesplitste klassieke quaternionen algebra's). Dit onderdeel van het onderzoek is vooral in samenwerking met Del Rio, Ruiz, Juriaans, Olteanu, Aljadeff, Hertweck en Aljadeff. Probleem 4: Bepaal de structuur van de eenhedengroep van sommige orders (door ook gebruik te maken van meetkundige technieken). Een concreet probleem om dit op te lossen is om een fundamenteel domein te construeren voor de actie van de eenhedengroep op een geassocieerde hyperbolische ruimte. Dit is tot op heden succesvol uitgevoerd voor slechts een heel beperkt aantal voorbeelden. Een eerste belangrijk uit te voeren stap is om dit probleem aan te pakken voor de eenhedengroep ZG van een eindige groep G zodat QG de matrixring M_2(Q) als een simpele component heeft. De theorie en constructie van Farey symbolen zou hier moeten toepasbaar zijn. Dit zou nieuwe constructies van eenheden opleveren, die samen met de bekende Bass cyclische en bicyclische eenheden misschien vaak generatoren geven voor een deelgroep van eindige index in de eenhedengroep van ZG voor een willekeurige eindige groep G. Een tweede belangrijke stap is de studie van de eenhedengroep van orders in klassieke quaternionenalgebra's. De eenheden die recent ontdekt werden door Juriaans, Passi en Souza Filho zijn kandidaten die een fundamenteel zouden kunnen bedekken. Als toepassing zou men misschien ook natuurlijke veralgemeningen van de Stelling van Dirichlet naar het niet commutatieve geval kunnen bekomen. Probleem 5: Bepaal wanneer de eenhedengroep van zekere orders hyperbolisch is (in de zin van Gromov). Recent werd hierop fundamentele vooruitgang gemaakt door Juriaans, Passi, Prasad en Filho, dit in het geval van semipriem semigroepringen. Het algemene geval is nog open. Ook zouden wij graag de "klassieke" bekende constructies van eenheden herkennen als meetkundige objecten. In deze context werden recent de eindige groepen G beschreven waarvoor zekere meetkundige technieken toepasbaar zijn om de structuur van de eenhedengroep van ZG te beschrijven. Graag zouden wij dit uitbreiden naar een ruimere klasse, b.v. naar de klasse van virtuele cohomologische dimensie 3. Ook wensen wij het probleem van Passi op te lossen: wanneer voldoet de eenhedengroep van een groepring aan de Jordan decompositie. Passi et al hebben dit probleem gereduceerd tot complexe representaties van G van graad ten hoogste 3. Graad 3 is nog onopgelost. Probleem 6: Beschrijf speciale deelgroepen van de eenhedengroep. Wegens het verband met het isomorfismeprobleem, zal de normalisator deelgroep van de triviale eenheden in ZG speciale aandacht krijgen. Ook de groep voortgebracht door de symmetrische eenheden zal verder onderzocht worden. Bijzondere aandacht gaat uiteraard naar het (i) Zassenhaus vermoeden omtrent periodische eenheden, (ii) het isomorfismeprobleem voor speciale klassen van groepen, (iii) het Kaplansky vermoeden omtrent de beschrijving van de eenheden in een groepalgebra van een torsie-vrije groep T. De methoden uiteengezet in deel 1 van het project geven misschien inzicht hoe dit laatste aan te pakken voor belangrijke klassen van abels-bij-eindige groepen T.
Datum:1 jan 2009  →  31 dec 2009
Trefwoorden:semi-groepen, Algebraische Structuur, Mathematics
Disciplines:Wiskunde