< Terug naar vorige pagina

Project

Onzekerheidskwantificatie door middel van hiërarchische bemonsteringsmethoden met toepassingen in de structuur mechanica

Technische problemen uit de ingenieurswereld vertonen meestal een vorm van onzekerheid. Deze onzekerheid zit onder meer in de afmetingen van het beschouwde model, de grootte van de belastingskrachten en de materiaalparameters. In de loop der jaren is er een toenemende inspanning om rekening te houden met deze onzekerheid in de numerieke simulaties van de equivalente gediscretiseerde ingenieursmodellen. Met steeds groter wordende rekenkracht, groeit de behoefte aan snelle stochastische methoden die de onzekerheid op de output van een dergelijk model kunnen beoordelen. Een populaire keuze is de state-of-the-art Multilevel Monte Carlo (MLMC) methode, die een variantiereductietechniek gebruikt om de rekenkosten te verlagen. Om te kunnen werken, vereist de MLMC-methode een hiërarchie van roosters met toenemende resolutie, ook wel levels genoemd. In deze hiërarchie worden de meeste monsters genomen op lage resolutie en rekenkundig goedkope roosters, terwijl een afnemend aantal monsters wordt genomen op hoge resolutie en rekenkundig dure roosters. Klassiek is de rooster-hiërarchie voor de MLMC methode gebaseerd op een opeenvolgende h-verfijning van een door de gebruiker geleverde rooster. We verwijzen daarom naar deze implementatie als de h-MLMC methode. Hoewel de h-MLMC methode met succes de rekentijd vermindert met betrekking tot de Monte Carlo methode, kunnen de hoge rekenkosten op de roosters met hogere resolutie voor problemen zorgen. De langzame convergentie van de veelgebruikte discretisaties van eindige elementen van lage orde zal er vaak toe leiden dat zeer hoge resolutie roosters worden toegevoegd aan de rooster-hiërarchie om te voldoen aan de fouttolerantie van de oplossing. Om deze reden beschouwen we we twee onderzoekspaden.

Als eerste richten we ons op het verminderen van de rekenkosten op de hogere resolutie roosters van de rooster-hiërarchie door de orde van convergentie van de oplossing te verbeteren. Dit wordt geïllustreerd aan de hand van twee problemen in het domein van de structuur mechanica engineering die onzekerheid in de materiaalparameters met zich meebrengen, namelijk een probleem met een elastische balk en een probleem met de stabiliteit van de elasto-plastische helling. Om de rekenkosten op de hogere resolutieniveaus te verlagen, hebben we de p-verfijnde Multilevel quasi-Monte Carlo (p-MLQMC) methode ontwikkeld. Deze methode gebruikt een p-verfijningsschema om de rooster-hiërarchie te construeren, gecombineerd met een quasi-Monte Carlo steekproefschema. Het belangrijkste in p-MLQMC is de manier waarop de onzekerheid, gemodelleerd als een willekeurig veld als gevolg van de Karhunen-Loève-expansie, wordt verwerkt in de eindige elementenmethode. We onderzoeken hoe we dit kunnen bereiken door de zogenaamde integratiepuntmethode te implementeren. We presenteren twee implementatiefamilies van de integratiepuntmethode die de rekenkosten van de p-MLQMC-methode verlagen, namelijk de point-based approaches en de supermesh-based approaches.

Als tweede onderzoeken we of een hogere-orde quasi-Monte Carlo convergentie van de fout mogelijk is. We onderzoeken door middel van drie methodes of een hogere-orde convergentie van de quasi-Monte Carlo kubatuurfout kan worden verkregen bij het uitvoeren van numerieke integratie in het multidimensionale R-domein tegenover de Gaussianse verdeling. Eerst beschouwen we de standaardbenadering waarnaar we verwijzen als de Inverse Gaussian Mapping. We combineren deze benadering met een afknotting van het integratiedomein en onderzoeken of een hogere-orde convergentie kan worden verkregen bij het beschouwen van een tent-getransformeerde roosterreeks en een geïnterlinieerde Sobol'-reeks. Ten tweede onderzoeken we een nieuwe benadering die wordt gebruikt voor het in rekening brengen van de quasi-Monte Carlo punten, deze bestaat uit het toevoegen van een extra schaalfactor in de Inverse Gaussian Mapping. We noemen deze benadering de Scaled Inverse Gaussian Mapping. Ten slotte beschouwen we een methode waarbij het integratiedomein wordt afgekapt in functie van het aantal monsters. Deze aanpak noemen we de Uniform Domain Increase.

Datum:14 mrt 2019 →  2 dec 2022
Trefwoorden:Uncertainty Quantification
Disciplines:Partiële differentiaalvergelijkingen, Numerieke analyse, Statistiek
Project type:PhD project