De ontdekking van een nieuwe serie van uniforme veelvlakken

Het hoofd onderwerp van mijn onderzoek is mijn ontdekking van een nieuwe reeks uniforme veelvlakken, die ik 'uniform helical star columns’ heb genoemd, afgekort UHSC's. Uniform helical star columns zijn veelvlakken opgebouwd uit gelijkzijdige driehoeken, waarin de driehoekige vlakken elkaar snijden. Er zijn oneindig veel UHSC's en toch kunnen we twee verschillende klassen onderscheiden. Een van de redenen om dit onderzoek te doen was de esthetische kwaliteit die ik in de meeste UHSC's aantrof. Het werd de basis voor mijn werk als beeldhouwer. De geschiedenis van de regelmatige veelvlakken begint rond 400 voor Christus, maar er vinden nog steeds belangrijke ontwikkelingen plaats, zoals we kunnen zien in Branko Grünbaum's paper ‘''New” uniform polyhedra', gepubliceerd in 2003. In feite is over de vraag wat we onder een veelvlak moeten verstaan al eeuwenlang actief gediscussieerd en het kan vandaag de dag nog steeds een controversieel onderwerp zijn. Alle definities lijken het erover eens te zijn dat een veelvlak bestaat uit hoekpunten, randen en vlakken, waarbij de vlakken (vlakke) veelhoeken zijn, de hoekpunten hoeken zijn en randen zijden van die veelhoeken zijn, en elke rand verbind precies twee hoekpunten en precies twee vlakken. Elke twee vlakken (elke twee hoekpunten) van een veelvlak zijn ook verbonden door een ketting van een reeks met elkaar verbonden vlakken (een reeks met elkaar verbonden randen). Alle veelvlakken die in dit proefschrift worden besproken, voldoen aan deze vereisten en er worden aanvullende voorwaarden beschreven voor speciale veelvlakken. Om een goed begrip te krijgen van de nieuwe uniforme veelvlakken, en in het bijzonder van de UHSC's, is het belangrijk om adequate hulpmiddelen te hebben om deze veelvlakken te visualiseren. Daarom is het eerste deel van dit proefschrift gewijd aan de visualisatie van veelvlakken. Visualisatie van veelvlakken heeft ook een lange geschiedenis, maar voor deze nieuwe veelvlakken moest ik nieuwe methodes ontwikkelen, waarvoor ik gebruik heb gemaakt van de nu beschikbare computertechnieken. De spiraalvorm en de spiraalbeweging zijn essentieel voor de nieuwe UHSC's. Het blijkt dat spiraalvormige beweging op verschillende manieren kan worden gebruikt, niet alleen om te construeren, maar ook om de structuur van veelvlakken waarin elkaar snijdende vlakken voorkomen te verhelderen. De spiraalvormige beweging genaamd ‘helixation’ wordt gedefinieerd als een transformatie en wordt vergeleken met een andere spiraalvormige transformatie, de Jitterbug-transformatie. Dit leidde tot de ontdekking van weer een nieuw oneindige uniforme veelvlak, een toevoeging aan de drie Petrie-Coxeter veelvlakken. De constructie van de UHSC's wordt op verschillende manieren onderzocht (zowel virtueel als echt). Traditionele vouwtechnieken, maar nu getransformeerd naar virtual reality, worden gebruikt om te laten zien hoe een UHSC kan worden geconstrueerd.