Multilevel onzekerheidskwantificatiemethoden voor robuust ontwerp van industriële toepassingen

De grootte en complexiteit van wiskundige modellen die gebruikt worden binnen de wetenschap en technologie nemen steeds toe. Evenzo groeit het aantal parameters die worden gebruikt in deze modellen. Onzekerheid beïnvloedt bijna elk van deze parameters. Het kwantificeren van het effect van die onzekere parameters op de uitvoer van het model wordt steeds belangrijker. Dit is het onderwerp van de onzekerheidskwantificatie (UQ, naar het Engels: "uncertainty quantification").

Het omgaan met een groot aantal onzekere parameters vormt een enorme uitdaging, zelfs voor moderne supercomputers, wanneer conventionele UQ-algoritmen worden gebruikt. Deze algoritmen vereisen een groot aantal dure modelevaluaties, omdat de rekenkost bijna onvermijdelijk exponentieel snel toeneemt met het aantal onzekere parameters. Methoden van het Monte Carlo (MC)-type kunnen deze zogenaamde vloek van de dimensie vermijden. De klassieke MC-methode wordt echter vaak als te duur aanzien. Gelukkig kunnen zogenaamde multilevel methoden de kosten van een MC-simulatie drastisch verlagen. De Multilevel Monte Carlo (MLMC) methode, bijvoorbeeld, verlaagt de rekenkosten door vele modelevaluaties met lage nauwkeurigheid en bijbehorende lage rekenkost uit te voeren. Vervolgens worden steeds minder evaluaties van een correctieterm met steeds toenemende nauwkeurigheid, maar met een hogere rekenkost, toegevoegd.

Het doel van dit werk is het ontwikkelen en onderzoeken van verschillende varianten van deze multilevel methoden, die nuttig zijn voor UQ-problemen met een groot aantal onzekere parameters. Omdat we speciale aandacht besteden aan modellen die worden beschreven door partiële differentiaalvergelijkingen, is de snelle en robuuste berekening van elke modelevaluatie cruciaal. Hiervoor kunnen Multigrid (MG) methoden worden gebruikt. Deze MG-methoden hanteren een hiërarchie van ruwe benaderingen die erg lijkt op de hiërarchie die wordt gebruikt bij multilevel methoden. Dit laat ruimte voor veel algoritmische verbeteringen.

In een laatste deel van de thesis passen we enkele van de in dit proefschrift ontwikkelde methoden toe op een realistisch probleem uit de computationele vloeistofdynamica.

Dit onderzoek werd gefinancierd door project IWT/SBO EUFORIA: "Efficiënte Onzekerheidskwantificatie voor Optimalisatie in Robuust Ontwerp van Industriële Toepassingen" (IWT-140068) van het Agentschap voor Innovatie door Wetenschap en Technologie, Vlaanderen, België.