Automatic exploration techniques for the numerical continuation of large-scale nonlinear systems

Dynamische systemen vormen een belangrijke klasse van wiskundige modellen, ze laten ons toe om veel fenomenen uit de fysica, chemie, biologie en zelfs economie te bestuderen. Typisch houdt de studie van een dynamisch systeem in dat de evolutie van bepaalde toestanden in de tijd worden gesimuleerd. Vaak convergeren deze toestanden naar equilibria: toestanden van het systeem die constant blijven in de tijd. Niet enkel zijn de toestanden met deze eigenschap zelf interessant om te bestuderen, ook hun afhankelijkheid ten opzichte van fysische parameters, zoals bijvoorbeeld de temperatuur of beginconcentraties van bepaalde stoffen, vormt een belangrijk onderzoeksdomein. In de praktijk wordt de afhankelijkheid tussen toestand en fysische parameter onderzocht met een wiskundige techniek genaamd numerieke continuatie. Hierbij worden verschillende continue, geconnecteerde, curves van equilibria benaderd met behulp van andere numerieke methoden. De verzameling van zo'n curves wordt ook wel een (geconnecteerd) oplossingslandschap van het dynamisch systeem genoemd. De thesis focust op deze numerieke continuatie techniek, meer bepaald het onderdeel dat bestaat uit automatische exploratie. Hiermee wordt het automatisch genereren van een volledig oplossingslandschap bedoeld, in plaats van slechts één curve. Dit wordt gerealiseerd in twee stappen: bifurcatiepunten (equilibria die een transitie in eigenschappen van het systeem induceren) worden benaderd, en raaklijnen naar nieuwe curves uit deze punten worden geconstrueerd. De huidige technieken om numerieke continuatie uit te voeren schieten vaak te kort. Zo is een groot deel van de beschikbare software gebaseerd op dichte lineaire algebra, wat hun gebruik op grootschalige systemen niet toelaat. Verder zijn er problemen bij het benaderen van bifurcatiepunten, ten gevolge van een eigenschap die deze equilibria hebben: de Jacobiaan van het systeem, geëvalueerd in een bifurcatiepunt, kan singulier zijn. Dit brengt problemen met zich mee wanneer bijvoorbeeld de methode van Newton wordt toegepast in een algoritme dat dient om het punt te benaderen. Ook bij het construeren van raaklijnen naar nieuwe curves zijn er problemen. Hoewel ze efficiënt bepaald kunnen worden voor systemen zonder symmetrie, is dit niet het geval als het systeem wel bepaalde symmetrieën bevat. De thesis tracht een oplossing voor de beschreven problemen te vinden. Hiervoor zullen we de numerieke algoritmes afleiden die nodig zijn voor de automatische exploratie van (geconnecteerde) oplossingslandschappen, waarbij we ons volledig baseren op ijle lineaire algebra.

Jaar van publicatie:2019

Trefwoorden:Doctoral thesis

Toegankelijkheid:Open