Eerste-orde definities in ringen met behulp van kwadratische vormen.

Een ring is in de wiskunde een collectie objecten die men kan optellen, aftrekken en vermenigvuldigen op een gelijkaardige manier als we dat met getallen doen. Zo vormt bijvoorbeeld de collectie gehele getallen (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...) een ring, aangezien deze kunnen worden opgeteld, vermenigvuldigd en afgetrokken om nieuwe gehele getallen te bekomen. In ons onderzoek willen we technieken bestuderen die mogelijks verbanden zullen blootleggen tussen de rekencomplexiteit van verschillende ringen. Dit is op zichzelf een interessante vraagstelling, maar ze wordt ook verder gemotiveerd door onderzoek naar welk soort wiskundige problemen kunnen worden 'geautomatiseerd', in de zin dat men een computerprogramma zou kunnen schrijven om ze op te lossen. Een berucht voorbeeld van zo een probleem werd in een bepaalde vorm geformuleerd door David Hilbert in 1900: "Vind een programma dat je vertelt of een gegeven vergelijking een oplossing heeft of niet." Het blijkt dat hoe een programma dat dit soort vragen oplost - en zelfs of het überhaupt bestaat - niet enkel afhangt van het soort vergelijkingen dat men beschouwt, maar ook van wat voor oplossingen men toelaat: enkel gehele getallen? Ook breuken? En irrationale getallen zoals pi? Voor gehele getallen weet men ondertussen dat zo een programma niet kan bestaan; het probleem kan niet worden geautomatiseerd. Anderzijds is er wél een programma bekend indien men alle reële getallen toelaat. De vraag blijft echter onopgelost indien men precies breuken als oplossingen toelaat. De technieken die we tijdens ons onderzoek zullen bestuderen zouden ons hier dichter bij een antwoord kunnen brengen, bijvoorbeeld door de complexiteit van de gehele getallen in verband te brengen met die van de breuken.

Trefwoorden:ALGEBRA

Disciplines:Veldtheorie en polynomen, Nummertheorie, Mathematische logica en beginselen

Project type:Samenwerkingsproject