Numerieke methoden voor patroon- en bifurcatieanalyse in complexe netwerken

Deze dissertatie splits zich toe op de analyse van patroonvorming in netwerken van niet-lineaire systemen met tijdsvertragingen in de koppelingen. De uitgangspunten zijn het werk van Turing over morfogenese en patroonvorming, en dat van Smale over het bepalen van voorwaarden waaronder het koppelen van globaal asymptotisch stabiele systemen leidt tot oscillerend gedrag, mogelijk op een gestructureerde manier (zoals synchroon of gedeeltelijk synchroon oscillerend gedrag). Eén van de belangrijkste open vragen betreft het analyseren en voorspellen van oscillerende patronen in de buurt van bifurcatiepunten in complexe netwerken. In zulke netwerken kunnen verschillende oscillatie-patronen naast elkaar bestaan, wat het gebruik van de gangbare analysemethoden bemoeilijkt. Het onderzoek beschreven in deze disseratie gaat in op de numerieke analyse van dit fenomeen, op basis van de multivariabele harmonische balans (MHB) methode, ontwikkeld door Iwasaki. Iwasaki’s werk toont aan dat de MHB-methode een krachtig hulpmiddel is voor het bepalen van oscillerende profielen. De methode baat echter de netwerkstructuur niet uit, wat belangrijk is met oog of schaalbaarheid van de algoritmen naar grote netwerken toe, en ze levert geen informatie over het gedrag van het netwerk als het zich niet in de buurt van een bifurcatiepunt bevindt.

Om bovenstaande hoofdvraag te beantwoorden, zijn er numerieke benaderingsmethoden ontwikkeld op basis van de MHB-methode, die toepasbaar zijn op netwerken met een meer algemene structuur en dynamica. Deze methoden zijn in staat om oscillerende patronen die in deze netwerken optreden te voorspellen, zelfs wanneer sommige naast elkaar bestaan. De belangrijkste onderzoeksbijdragen beschreven in deze dissertatie zijn:

1. Oscillaties met gelijke amplitudes. Er is een semi-analytische, semi-numerieke methode ontwikkeld om oscillaties met gelijke amplitudes te voorspellen in complexe netwerken die worden beschreven door een regulier netwerk. Onze aanpak resulteert in een harmonisch profiel (frequentie, amplitude, faseverschuivingen) dat gecodeerd is in de grootste eigenwaarde van de koppelingsmatrix en de bijbehorende eigenvector. Hierbij worden de individuele dynamica van de deelsystemen en de topologie van het netwerk ontkoppeld. De MHB-methode is efficiënt en levert zeer goede benaderingen op van de oscillatiepatronen verkregen met een numerieke simulatie in de buurt van bifurcatiepunten.

2. Oscillaties met verschillende amplitudes. De MHB-methode is aangepast en breder toepasbaar gemaakt. Een nieuwe benadering maakt het mogelijk om oscillerende profielen te bepalen zonder beperking op de grootte van de amplitudes. Het bepalen van een oscillatieprofiel wordt omgezet naar een optimalisatieprobleem, waarvoor we een interior point methode gebruiken. Het optimalisatieprobleem is in het algemeen niet convex, en er kunnen meerdere oplossingen zijn, wat co-existentie van verscheidene oscillerende patronen kan impliceren. Daarom is de optimalisatieprocedure gecombineerd met een multistart-strategie, die haalbaar is vanuit rekenkundig standpunt vanwege het klein aantal onbekenden in de MHB methode. Het algoritme is even nauwkeurig als dat voor het geval van gelijke amplitudes, en het blijft toepasbaar wanneer verschillende patronen gelijktijdig voorkomen.

3. Patroonanalyse in netwerken met tijdsvertragingen. De MHB-methode is uitgebreid naar netwerken met tijdsvertragingen. Er is aangetoond dat de benadering kan worden gebruikt als initiële data voor een numerieke bifurcatieanalyse. De bovenvermelde optimalisatieprocedure is aangepast en de convergentie van het algoritme is aanzienlijk versneld. Bovendien is aangetoond dat de MHB-benadering gebruikt kan worden voor elementaire bifurcatieanalyse en voor het nauwkeurig voorspellen van de frequentie van oscillaties, zelf ver weg van bifurcatiepunten.

4. Volledige synchronisatie in netwerken, geïnduceerd door tijdsvertragingen. In bepaalde netwerken kan volledige synchronisatie enkel voorkomen wanneer er tijdsvertraging is in de koppelingen. In deze dissertatie is dit fenomeen bestudeerd in ringnetwerken. Een numerieke analyse is uitgevoerd door middel van een combinatie van de MHB-methode en het bifurcatie/continuatie softwarepakket DDE-BIFTOOL. De analyse heeft geleid tot belagnrijke inzichten in het fenomeen en toont het belang van het gebruik van zowel de MHB-methode als bifurcatieanalyse voor complexe netwerken aan.