< Terug naar vorige pagina

Project

Eindige deelgroepen en quotiënten van de eenhedengroep van de integrale groepsring (FWOTM819)

Gebruikmakend van zowel groeps- als ringtheorie, kunnen we een speciale ring (de groepsring) maken met een groep, zodanig dat de multiplicatieve structuur van de ring lijkt op die van de groep. Dit geeft ons een natuurlijke manier om de groep zelf te bestuderen, omdat er veel nuttige technieken in de ringtheorie zijn. We zijn erg geïnteresseerd in de zogenaamde eenheidsgroep (d.w.z. de elementen waarmee we kunnen "delen"). Deze groep is erg belangrijk in verschillende grote hedendaagse problemen, zoals (maar niet uitsluitend) het normalisatieprobleem, het isomorfisme-probleem ... De laatste is de simpele vraag of, als twee groeperingen isomorf zijn, de groepen zijn die deze ringen bepalen isomorphic? Hoewel het eenvoudig te stellen is, is het moeilijk gebleken om een ​​tegenvoorbeeld te vinden. Pas in 1998 ontdekte Hertweck een tegenvoorbeeld, hoewel de vraag in 1940 werd gesteld. In dit project willen we meer ontdekken over de precieze structuur van de eenheidsgroep en in het bijzonder over hoe het rooster van subgroepen zich gedraagt. In het bijzonder zullen we aandacht schenken aan enkele speciale subgroepen (gegenereerd door generieke eenheden) en kijken "hoe dichtbij" deze subgroepen zijn om de volledige eenheidsgroep en (eindige) quotiënten van deze groep te zijn. Ten slotte zullen we onderzoeken of (onder sommige aannames) de eenheidsgroep een (semi-direct) product is van een torsievrije normale subgroep met de oorspronkelijke groep. Dit zou een veel beter beeld geven van de eenheidsgroep en ook zou het een positief antwoord geven op het isomorfisme-probleem voor dergelijke groepen.
Datum:1 okt 2016 →  30 sep 2020
Trefwoorden:integral group ring, subgroups, quotient, unit group, mathematics
Disciplines:Algemene wiskunde