L²-Bettigetallen voor deelfactoren en rigide C*-tensorcategorieën

De theorie van deelfactoren, een onderzoeksgebied dat ingevoerd werd door Vaughan Jones in de jaren '80, levert een krachtig framework om kwantumsymmetrieën te bestuderen, met toepassingen in verscheidene deelgebieden van de wiskunde, waaronder knopentheorie. Elke deelfactor geeft aanleiding tot een groepachtige structuur, de zogeheten standaardinvariant. Het werk van Popa over de classificatie van deelfactoren met amenabele standaardinvariant illustreert de nood aan een representatietheoretisch kader om de structuur van dit object beter te begrijpen.

Dit kader, geformuleerd in de taal van rigide C*-tensorcategorieën, werd recent ontwikkeld door Popa en Vaes. Met behulp van deze technologie waren zij in staat om verschillende groepseigenschappen, waaronder L²-Bettigetallen, op intrinsieke wijze te formuleren voor willekeurige rigide C*-tensorcategorieën. Dit zijn numerieke groepsinvarianten die allerlei structurele eigenschappen van groepen beschrijven.

Tijdens mijn doctoraat heb ik op verschillende vlakken bijgedragen tot de theorie van L²-Bettigetallen in deze context. Samen met Kyed, Raum en Vaes hebben we de L²-Bettigetallen van representatiecategorieën van compacte kwantumgroepen in verband gebracht met die van hun discrete duale. Als toepassing daarvan konden we de L²-Bettigetallen van verschillende discrete kwantumgroepen berekenen. Later heb ik ook een "vanishing theorem" voor L²-Bettigetallen van rigide C*-tensorcategorieën bewezen---een veralgemening van een resultaat van Bader, Furman en Sauer voor discrete groepen.

In een gezamenlijk artikel met Vaes hebben we ook een spectraal criterium bewezen om na te gaan of een rigide C*-tensorcategorie eigenschap (T) heeft. Dit is een veralgemening van een stelling van Żuk. Als toepassing daarvan hebben we de eerste voorbeelden gegeven van discrete kwantumgroepen met eigenschap (T) die "echt kwantum" zijn.