Onderzoek naar de rol van calculus in de studie van elektrodynamica

Het gebruik van wiskundige concepten en technieken om natuurkundige fenomenen te beschrijven is een uitdagende maar belangrijke taak in alle vakgebieden van de fysica. Hoewel studenten gewoonlijk goed geoefend zijn in het uitvoeren van wiskundige berekeningen, is hun begrip van de wiskundige concepten vaak beperkt en is het een hele beproeving om deze toe te passen in een fysische context. Dergelijke problemen komen veelvuldig voor wanneer studenten vector calculus dienen te gebruiken binnen de cursus elektrodynamica. In elektrodynamica worden de operatoren divergentie en rotor aangewend om de wetten van Maxwell in differentiaalvorm te formuleren. Het is moeilijk om het belang van de wetten van Maxwell te overschatten, aangezien deze vergelijkingen, samen met de Lorentzkracht, een fundamentele rol spelen in de klassieke theorie van het elektromagnetisme. In dit onderzoek hebben we de meest voorkomende moeilijkheden die studenten ervaren met het gebruik van divergentie en rotor in wiskunde en elektromagnetisme bestudeerd. Ook hebben we op onderzoek gebaseerde leermaterialen ontworpen, geïmplementeerd, en geëvalueerd met het doel de gevonden problemen te remediëren.

In de eerste fase van ons onderzoeksproject hebben we de moeilijkheden die studenten ondervinden bestudeerd, zowel voor als na de elektrodynamica cursus zoals deze origineel gegeven werd aan drie universiteiten: KU Leuven, Dublin City University (DCU), and University of St Andrews. Om het begrip van studenten betreffende vector calculus in een wiskundige en elektromagnetische context te kunnen beoordelen, hebben we gebruik gemaakt van een pretest post-test methode, waarbij we de antwoorden van studenten met ideeën van fenomenografie hebben geanalyseerd. We hebben aangetoond dat studenten redelijk goed geoefend waren in het maken van berekeningen, maar een structureel begrip van de vector operatoren misten, het vaak moeilijk hadden om grafische representaties te interpreteren in termen van divergentie en rotor, en dikwijls de wetten van Maxwell in differentiaalvorm op incorrecte wijze hanteerden. Hoewel de relatieve frequentie van dergelijke moeilijkheden afhankelijk was van de beschouwde universiteit, bleek de gevonden classificatie van typische fouten toepasbaar op alle groepen studenten.

Om meer inzicht te krijgen in redeneerprocessen van studenten, en om te achterhalen welke elementen een aanzet kunnen geven tot een correcte en productieve manier van denken, hebben we semi-gestructureerde individuele interviews uitgevoerd met acht KU Leuven studenten die de elektrodynamica cursus succesvol beëindigd hadden. Tijdens deze interviews vroegen we studenten om luidop de divergentie en rotor van elektromagnetische velden te bepalen, gebruikmakende van grafische representaties, wiskundige berekeningen, en de differentiaalvorm van de wetten van Maxwell. Hoewel vele studenten trachtten om de vragen te verduidelijken door middel van een schets, zagen we dat ze zeer veel moeite hadden om zulke visualisaties te interpreteren in termen van divergentie en rotor. Ook verwarden sommigen kenmerken van veldlijn diagrammen met deze van veldvector figuren, of ondervonden ze moeilijkheden met het omzetten van grafische naar symbolische representaties en vice versa. Door onze bevindingen te interpreteren met behulp van het conceptual blending framework, konden we aantonen hoe een beperkt structureel begrip van de vector operatoren en problemen met grafische representaties de incorrecte opvattingen omtrent de wetten van Maxwell kunnen verklaren.

Aangezien onze eerdere studies aantoonden dat studenten moeilijkheden ervaren met het gebruik van vectorveld representaties, hebben we onderzocht in welke mate ze veldlijn diagrammen, veldvector figuren, en symbolische expressies van vectorvelden kunnen interpreteren, construeren, en in elkaar omzetten. We hebben daarom studenten geïnterviewd, activiteiten van studenten tijdens de les geanalyseerd, en een beoordelingsinstrument op basis van open vragen ontwikkeld dat aan tweede- en derde-jaars studenten fysica, wiskunde, en ingenieurswetenschappen gegeven werd aan vier verschillende universiteiten. Zo verkregen we een overzichtelijke samenvatting van alle typische fouten die studenten maken wanneer ze wisselen tussen verschillende vectorveld representaties. Ook stelde de studie ons in staat om de relatieve frequentie van de gemaakte fouten te bepalen. Ondanks dat de resultaten verschilden naargelang de beschouwde universiteit, toonden onze bevindingen aan dat veel studenten moeilijkheden ondervinden met het optellen van vectoren, niet inzien dat de dichtheid van veldlijnen een indicatie is voor de sterkte van het veld, kenmerken van veldlijnen verwarden met deze van equipotentiaallijnen, en niet het gepaste coördinatenstelsel gebruikten om wiskundige vergelijkingen van vectorvelden op te stellen.

Naar aanleiding van bovenstaande studies hebben we op onderzoek gebaseerde leermaterialen ontworpen, geïmplementeerd, en geëvalueerd, met als doel de studenten met de gevonden moeilijkheden te helpen. Deze werkbladen begeleiden de studenten via korte denkvraagjes, en trachten de meest voorkomende moeilijkheden uit te lokken en studenten te confronteren met hun onjuiste ideeën. Ook verduidelijken ze de link tussen conceptuele strategieën om de divergentie en rotor in grafische representaties te bepalen, berekeningen met de vector operatoren, en de wetten van Maxwell in differentiaalvorm. De werkbladen werden geïmplementeerd in oefensessies aan KU Leuven en DCU, waar de participerende studenten werden aangemoedigd om de vragen te bediscussiëren in kleine groepjes. De resultaten tonen aan dat de KU Leuven studenten doorgaans beter presteerden op de post-test na de interventie dan na de cursus in het originele format. De interventie aan DCU was minder effectief, wat waarschijnlijk te wijten is aan een mismatch tussen de inhoud van de werkbladen en de wiskundige voorkennis van deze studenten. Niettegenstaande gaven zowel de KU Leuven als DCU studenten aan de oefensessies te appreciëren en hadden ze het gevoel iets geleerd te hebben van de werkbladen.

We hebben inhoud-specifieke moeilijkheden die studenten ervaren met het gebruik van vector calculus in elektrodynamica gedocumenteerd, en gerapporteerd over de effectiviteit van een op onderzoek gebaseerde interventie. Ook dragen onze bevindingen bij aan het vakdidactisch onderzoek in fysica door te beschrijven hoe studenten wiskunde gebruiken in de fysica en hoe het aanwenden van meerdere representaties kan helpen bij dit proces. We hebben aangetoond dat studenten met een beperkt structureel begrip van wiskundige concepten vaak moeilijkheden ondervinden wanneer deze concepten toegepast dienen te worden in een fysische context. Toch zagen we dat ook voor studenten die deze wiskundige concepten wel diepgaand begrijpen het een hele beproeving kan zijn om wiskunde in fysica te integreren. Tot slot is het noodzakelijk om een beter begrip te verkrijgen van hoe studenten de taal van de wiskunde gebruiken in fysica, om zo het fysica onderwijs nog meer te benaderen vanuit een onderzoeksperspectief.