A Numerical Linear Algebra Framework for Solving Problems with Multivariate Polynomials (Een numerieke lineaire algebra kader voor het oplossen van problemen met multivariate veeltermen)

Multivariate veeltermen komen veelvuldig voor in ingenieurstoepassingen. Bijvoorbeeld, het schatten van parameters uit metingen kan vaak geschreven worden als het oplossen van een stelsel multivariate veeltermen. Demeeste methodes voor het oplossen van zulke problemen zijn symbolisch. Inderdaad, in het onderzoeksdomein van computer algebra bestudeert men symbolische algoritmen voor het oplossen van problemen met multivariate veeltermen. Deze ontwikkeling heeft de groei van numerieke algoritmen enigszins beperkt. Deze thesis tracht deze lacune van numerieke algoritmen op te vullen door de ontwikkeling van een numerieke lineaire algebra (PNLA) raamwerk dat ons toelaat problemen met multivariate veeltermen op telossen. De twee belangrijkste hulpmiddelen  in dit raamwerk zijn de singuliere waardenontbinding en de QR-ontbinding. We beschouwen eerst drie basisoperaties in de thesis: de optelling, vermenigvuldiging en de deling en beschrijven hoe deze operaties zich vertalen naar het PNLA-raamwerk. Deze operaties komen respectievelijk overeen met het optellen vanvectoren, een vector matrix vermenigvuldiging en een vector ontbinding.Vervolgens introduceren we de Macaulay matrix tesamen met interpretaties voor drie van zijn fundamentele deelruimtes: de rijruimte, de nulruimte en de linkse nulruimte. Loodrechte basissen voor deze deelruimtes zijncruciaal voor de numerieke stabiliteit van de algoritmen en daarom wordt er ook een orthogonalizatie-schema ontwikkeld in de thesis. Dit algoritme buit zowel de spaarsheid als de structuur van de Macaulay matrix uit. We introduceren daarna de canonieke ontbinding van de vectorruimte vanmultivariate veeltermen. Dit concept speelt een belangrijke rol aangezien het een stopcriterium oplevert voor veel van de algoritmen die ontwikkeld zijn in de thesis. Ten laatste, bespreken we zeven toepassingen metbijhorende numerieke algoritmen: het vinden van een Groebner basis, hetberekenen van alle affiene oplossingen van een stelsel multivariate veeltermen, het oplossen van het ideal membership probleem, het analyseren van veeltermsyzygies, multivariate eliminatie, het berekenen van een kleinste gemene veelvoud en grootste gemene deler van twee veeltermen en het verwijderen van multipliciteiten van affiene oplossingen.

Trefwoorden:Bayesian networks

Disciplines:Andere ingenieurswetenschappen en technologie

Project type:PhD project